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민원신청
민원신청
| 접수번호 | 20160121202922001 | 처리상태 |
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|---|---|---|---|
| 민원제목 | 중등 수학 교과서의 심각한 자체 모순 오류 | ||
| 민원유형 | 교과서 내용·정보 > 중 1~3 > 수학 > 수학② > ㈜비상교육 > 김원경 외8 > > 교과서 > 인정 > 2015 | 신청일 | 2016-01-21 20:29:22 |
| 페이지 | 교과서 종류 | 서책형 교과서 | |
| 민원내용 | 이 전 민원에서 비슷한 문제를 제기했습니다만, 좀 더 연구해 본 결과
그냥 오류 수준이 아니라 중학교 수학 연산체계 모순이라는 보다 심각한 상황이 발생했음을 알려 드립니다. 게다가 이 사안은 이전 민원에서 지적한 대로 모든 교과서 및 참고서 공통입니다. <참고 사항> 이 홈페이지가 처음 나오는 공백 문자들을 생략해 버리는 관계로 내용을 명료하게 하기 위해 공백 자리에 # 기호를 보조로 넣었습니다. 이 점 참고하시기 바랍니다. 사례: 중2 교과서 (주) 비상 중2 38쪽 [방법1], [방법2] 풀이 내용 이런 종류의 오류는 이 교과서에만 한정된 것이 아님 모든 교과서, 참고서류에서 일아나고 있음. 모순이라는 것은 하나를 인정하게 되면 다른 하나가 부정되고, 다른 하나를 인정하게 되면 그와 대립 위치에 있는 것이 부정되는 상황을 말하는 것입니다. 즉 현재 한국 수학 교과서 및 참고서는 모두 이 모순점을 수정 없이 갖고 있고, 제가 확인한 것만으로도 몇 년째 모순점을 안고 수정없이 학생들에게 가르친 것으로 들어났습니다. 아래는 모순 및 오류에 대한 증명입니다. 내용은 다음과 같은 연산 유형을 다루는 모든 내용입니다. a x b x c 를 abc라고 표기하고 d x e 를 de라고 표기할 때, abc ÷ de 를 계산하는 방법에 관한 풀이 과정에서 오류 및 모순입니다. 여기서 'x'는 곱하기를 ' -----' 는 분수를 표현하기 위해 사용했습니다. 제가 찾아 본 모든 중등 교과서와 참고서에서 ########## abc abc ÷ de = ------ [1] ########## de 라고 풀이하고 있습니다. 이러한 풀이는, 미국 수학 협회에서 정했다고 전해지는 아래의 연산 규칙 때문이라고 생각됩니다. Rule 7 multiplication indicated by juxtaposition is carried out before division. 즉, 이 규칙을 적용하면, [1]번과 같은 풀이가 가능합니다. 그러나 한국의 초, 중, 고 교육 과정에는 위 [Rule 7]이 정의되어 있지 않습니다. 이 문제 풀이에 관련된 내용으로 한국 교육 과정에서 명시적으로 정한 것은 다음 2가지입니다. [1. 연산 우선 순위] 괄호 > 거듭제곱 > (곱하기,나누기) > (더하기, 빼기) 단, 곱하기와 나누기는 먼저 나온 것을 먼저 계산한다. 더하기와 빼기도 먼저 나온 것을 먼저 계산한다. [2. 곱하기 생략허용] x(곱하기)는 식에서 생략할 수 있다. -라는 내용입니다. 그리고, 생략된 곱하기 표현(juxtaposition)이 나누기 보다 우선 순위가 높다는 규정은 없습니다. 이런 상황에서 연산 순위에 대해 논리적으로 연역할 수 있는 규칙은 juxtaposition의 우선 순위는 곱하기와 같고 따라서 나누기와 같다 -라는 것이겠지요. 이런 조건이라면, 다음과 같이 풀어야 정답이 됩니다. ############ abc ####### abce abc ÷ de = ------ x e = ------- [2] ############# d ########## a 만약 [2]번 풀이가 틀리고, [1]번이 맞는다고 한다면, 아래와 같은 두 가지 모순이 생깁니다. 첫째 교육 과정 모순 증명: a x b x c ÷ d x e 를 초등학교 방식으로 풀면 [2]번 풀이가 정답입니다. 그런데 중학교 과정에서 소개된 x생략 규정을 사용하면 abc ÷ de 가 되는데, 이 식을 현재 중학교 교과서 방식으로 풀면 답을 [1번]이라고 합니다. 이것으로 초등학교과정과 중학교 과정에 모순이 생깁니다. [첫째 교육과정 모순 증명 끝] 현재 제가 본 교과서와 참고서(ebs 교재 포함)들은 [1]번을 맞는 것으로 [2]번을 틀린 것으로 하고 있습니다. 세계적으로 가장 많이 팔리는 컴퓨터 프로그램 도구 중 하나인 마이크로소프트사의 Visual C++ 로 프로그램을 했을 경우 컴퓨터는 [2]번 방식으로 계산을 합니다. 즉, 한국의 교육 과정이 정한 연산 순위와 정확하게 일치하는 방식으로 계산합니다. 둘째 모순 증명 [1]번 풀이 방법은 [Rule7]을 전제하지 않는 한, 성립할 수 없음에도 대부분의 교재에서 [1]번 풀이를 정답으로 하는 것은 매우 심각한 후유증을 야기할 것으로 예측됩니다만, [Rule 7]을 전제하더라도 수학 교과 과정의 다른 규칙과 정면 충돌하게 됩니다. 충돌 규칙: 한국 교육 과정에서는 a x b = ab [3] 라고 줄여서 쓸 수 있다고 정의하고 있습니다. 하지만, 만약 [Rule 7]을 인정하게 되면 이 규칙은 더 이상 성립할 수 없고, 대신 (a x b) = ab [4] 로 써야 합니다. 왜냐면 [Rule 7]은 명백히 연산 우선 순위를 정하고 있는 규칙입니다. 따라서 위 [1]번 방식으로 푸는 교과서에 [3]번 규칙이 나타나 있다면 이것은 상호 모순이 됩니다. 왜냐면 [3]번 규칙은 단순히 곱하기 기호의 생략만을 정의한 것이지 연산 우선 순위를 변경하기 위한 규칙이 아니기 때문입니다. 즉, [3]번 규칙을 인정하면, [Rule 7] 적용에 문제가 생기고, [Rule 7]을 허용하면, [3]번 규칙은 더 이상 존재할 수 없습니다. [3]번 규칙은 [Rule 7]과 상호 배타적인 관계에 있다고 볼 수 있습니다. [둘째 모순 증명 끝] 현행 중등교과서는 명백하게, 그리고 고등교과서는 잠재적으로 상호 배타적인 규칙인 [3]번 규칙과 [1]번 풀이 방식을 모두 수록하고 있고, 아무런 추가적인 해설이나 예외 설명이 없습니다. 그리고 이 상황은 제가 아는 한, 몇 년 동안 계속 된 것으로 보입니다. 명백히 모순된 내용(단순한 오류 차원을 넘어선)을 담고 있는 교과서와 참고서가 계속 사용된 것입니다. 논리적으로 엄밀하게 본다면, 과거 중학교 시험 결과(따라서 내신) 및 고등학교 내신과 수능 관련에서도 이 문제가 도출될 가능성이 있습니다. 해결책은 다음 논리적으로 두 가지 중 하나입니다. A: [1]번 풀이 방법(Rule 7)과 [4]번 규칙을 함께 수록하고 따라서, [3]번 규칙을 버리는 것입니다. B: [2]번 풀이 방법과 [3]번 규칙을 고수하고 [1]번 풀이 방법을 버리는 것입니다. A 방법을 쓴다면, [3]번 규칙 오류를 인정해야 하고, B 방법을 쓴다면, 현재 만연된 [1]번 풀이 방법을 수정해야 하는데 어떤 방법을 쓰더라도, 모든 교과서와 참고서를 고쳐야 할 것입니다. 이 문제는 매우 매우 심각한 것으로 시급히 조치하시기 바랍니다. |
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민원 답변
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